수학 (29) 썸네일형 리스트형 부피와 겉넓이-2 서론 여태까지 원이 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 도형임을 확인했다. 그런데 그 내용과 넓이를 미분하면 둘레가 나오는 다는 내용과 과연 무슨 관련이 있을지는 아직 모른다. 그래서 이번 글에서는 그것에 대해 알아보고자 한다. 미분을 동등하게 대하기원의 넓이는 일변수함수이지만, 사각형의 넓이는 일변수함수가 아니다. 그래서 "넓이를 미분하면 둘레가 나온다는 말"을 좀 일반화할 필요가 있다. 일단 가장 먼저 생각이 드는 일반화는 편미분이다. 미분을 다변수로 확장했을 때, 그냥 당연히 편미분이 생각이 났다. 아니면 그냥 특정 길이를 고정해두고, 변수를 하나로 만들어도 된다. 전자로 하는 것이 가장 일반적이여서 좋을 거 같지만, 문제는 편미분을 이용하면 ${\partial S\over\partial x_1.. 부피와 겉넓이-1.1 서론지난 글에서 둘레가 일정한 원,정사각형,정삼각형에 대해 넓이를 비교해 보았다. 원에서 정삼각형이 될수록 넓이가 작아졌다. 원을 미적분에서 다룰 때, 삼각형으로 쪼갠 뒤 극한을 보내기 때문에 원을 정무한각형이라고 해볼 때, 정n각형에서 n이 작아질 수록 넓이가 작아지는 것 같다. 이것이 실제로 그러한지, 정다각형이 아닐 때는 어떻게 되는지 알아 볼려고 한다. 정n각형모든 정n각형은 외접원을 만들 수 있다. 그래서 그 외심으로 부터 각 꼭짓점으로 도형을 나눠서 $n$개의 삼각형으로 구해볼려고 한다. 이 삼각형은 이등변 삼각형이다. 그래서 반지름과 한 변의 길이의 관계를 할 수 있다. 그래서 반지름($R$)을 한 변의 길이로 표현할 수 있고, 이를 구해서 넓이를 $S=nsin(\frac{2\pi}{n})R.. 부피와 겉넓이-1 서론 "부피와 겉넓이는 어떤 관계가 있을까?" 구의 경우 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이고, 겉넓이는 $4\pi r^2$이다. 그래서 이것을 외울 때, 항상 부피를 $r$에 대해 미분하면 겉넓이가 나온다는 점을 이용했다. 여기서 구가 이런 관계에 있는 명백한 이유가 있을 것이다고 생각했다. 첫번째로 든 의심은 "부피가 일정할 때, 겉넓이가 최대이기 위해서 구여야하는 건 아닐까?"이다. 부피가 일정할 때, 겉넓이의 값사실 여기에는 굉장히 유명한 반례가 있다.가브리엘의 뿔이라고 하는 도형(?)있다. 이는 부피는 유한하지만, 겉넓이는 무한할 수 있다. 일단 이걸 도형이라고 부를 수 있지도 의문이다. 그래서 일단 적어도 문제를 바꿔야한다. 우리가 일반적으로 관찰할 수 있고, 직관적인 도형을 생각.. 이차 형식의 함수 그리기 문제https://youtube.com/shorts/hVVVh7jgcjs?si=GGg0RB5PpQISSRi9 이 영상을 고등학생 때 처음 봤다. 처음 봤을 때, 계산들이 너무 빠르게 지나가고 해서 하나도 이해를 못했다. 어떻게 행렬로 바꿀 생각을 했는지, 왜 저기서 고유값이 의미있게 쓰이는 것인지 아무것도 몰랐다. 대학생이 된 지금은 조금이나마 알 것 같다.풀이$ax^2+2bxy+cy^2=\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\b&c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=1$ 이러한 꼴의 이차 형식은 헤세 행렬을 이용해서 표현할 수 있다. 그래서 문제의 방정식도 행렬을 이용해서 표현해보자.$x^2.. 행렬 곱의 교환법칙 학교에서 매주 문제를 풀라고 수학문제를 내주는데,우연히 잘못된 풀이로 풀었더니 정답여서 신기한 사실을 발겼했다.문제두 이차정사각행렬$A,B$가$A+B=I$, $A^2-B^2=\begin{pmatrix} 2&0\\0&4\end{pmatrix}$를 만족할 때,행렬 $A$의 $(1,2)$성분을 구하여라 풀이굉장히 간단한 문제이다. 정석적인 풀이는 $B=I-A$이므로 대입하면 $2A-I= \begin{pmatrix} 2&0\\0&4\end{pmatrix}$이 되어서 그냥 A를 구하면 된다.여기서 잘못된 풀이는 $A+B=I$이기 때문에 합차의 곱셈공식을 이용하여 $A+B= \begin{pmatrix} 2&0\\0&4\end{pmatrix} $라고 하는 것이다. 마치 처음 행렬을 배울 때는 뭔가 맞는 듯한 느낌이 .. p진수-4 더 어려운 방정식 $a_0x^2_0+a_1x^2_1+a_2x^2_2+\dots+a_nx^2_n=b$ 이런 방정식에 대해 $p$진수 해의 존재성을 생각해보자. 만약 p진수가 아니라 일반적인 실수였다면, 상당히 수월했을 것이다. 실수는 제곱근을 굉장히 많이 가질 수 있으므로 부호만 판단함으로써 존재성을 확인할 수 있다. 일단 이를 먼저 생각해보자. $a_x (0\leq x \leq n)$과 $b$의 부호가 같은 게 한 쌍이라도 있다면 실수해가 무조건 존재할 수 있다. 나머지를 다 0으로 만들고, 한쪽으로 이항한 뒤에 루트를 씌워주면 그만이다. p가 2가 아닐 때, r이 p에 대해 제곱 잉여가 존재하지 않을 때, 모든 p진수는 $\epsilon\cdot\gamma^2$로 표현할 수 있다.( $\epsilon\.. p진수-3 방정식의 해 구하기 이제 어떤 방정식에서 p진수로 표현되는 해를 찾기를 시도해 보자. $x^2=2$의 해를 7진수에서 찾아보자. $|a_n^2-2|_p{\leq}7^{-(n+1)}$을 만족하는 수열$a_n$을 찾을 수 있다면, $a_n$이 기존의 실수에서 $\sqrt{2}$에 해당하는 아주 신기한 값일 것이다. 합동을 이용해서 풀어보자. $a_0^2{\equiv}2\;mod\;7$ 이니 $a_0=3$이다. $a_1^2{\equiv}2\;mod\;7^2$ 이니 $a_1=3+1\cdot7$ $a_2^2{\equiv}2\;mod\;7^3$ $a_2=3+1\cdot7+2\cdot7^2$ 이렇게 해서 계속해서 구할 수 있다! 뉴턴 방법 사실 여기에서 미적분학에서 근사적으로 근을 구하는 뉴턴의 방식을 이용할 수도 .. p진수-2 절댓값 구해 보기 $p=3$일 때, 여러 절댓값들이 어떻게 계산되는지 확인해 보자. $|3|_3={1 \over 3}$ $|6|_3=|3{\times}2|_3={1 \over 3}$ $|9|_3=|3^2|_3={1 \over 9}$ $ |354294|_3=|2{\times}3^{11}|_3={1\over 3^{11}}$ $|2|_3=1$ $|5|_3=5$ $|{1\over3}|_3=3$ $|{1\over5}|_3=1$ 이처럼 정말 직관적으로 다가오지 않는 수들이 계산된다. 초거리 부등식 $|a+b|_p\;{\leq}\;max\{|a|_p,|b|_p\}$ 라는 초거리 부등식이 있다. 등호는 $|a|_p{\neq}|b|_p$이면 성립한다. 더보기 $a=\pm p^mr\;,\;a=\pm p^ns$라고 할 때,.. 이전 1 2 3 4 다음
