더 어려운 방정식
$a_0x^2_0+a_1x^2_1+a_2x^2_2+\dots+a_nx^2_n=b$
이런 방정식에 대해 $p$진수 해의 존재성을 생각해보자.
만약 p진수가 아니라 일반적인 실수였다면, 상당히 수월했을 것이다. 실수는 제곱근을 굉장히 많이 가질 수 있으므로 부호만 판단함으로써 존재성을 확인할 수 있다. 일단 이를 먼저 생각해보자. $a_x (0\leq x \leq n)$과 $b$의 부호가 같은 게 한 쌍이라도 있다면 실수해가 무조건 존재할 수 있다. 나머지를 다 0으로 만들고, 한쪽으로 이항한 뒤에 루트를 씌워주면 그만이다.
p가 2가 아닐 때, r이 p에 대해 제곱 잉여가 존재하지 않을 때, 모든 p진수는
$\epsilon\cdot\gamma^2$로 표현할 수 있다.( $\epsilon\in\;\{1,r,p,rp\}$이고, $\gamma$는 임의의 p진수이다.)
이를 이용해서 많이 복잡한 과정을 거치면, 최종적으로 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.
$a_1x_1^2+\cdots +a_nx_n^2=b$을 방정식$K$라고 할 때, $n{\geq}4$이면 모든 소수$p$에 대해서 방정식의 $p$진수해가 존재한다.
결론
왜 p진수가 필요할까?라는 질문에 대해 아래 정리가 중요한 답변이 될 수 있을 것이다.
방정식 K가 유리수해를 갖는다 ${\Leftrightarrow}$ 방정식 $K$가 실수해를 가지며, 모든 소수 $p$에 대해서 방정식의 $p$진수해를 갖는다.
하세-민코프스키 정리라고도 하는데, p진수라는 특이한 수체계를 우리가 일반적으로 잘 알고 있는 유리수해로 연결시킬 수 있는 중요한 정리인 거 같다. 여담으로 p진수가 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 이용이 되었던 거 같다.
참고
https://horizon.kias.re.kr/15463/
