서론
지난 글에서 둘레가 일정한 원,정사각형,정삼각형에 대해 넓이를 비교해 보았다. 원에서 정삼각형이 될수록 넓이가 작아졌다. 원을 미적분에서 다룰 때, 삼각형으로 쪼갠 뒤 극한을 보내기 때문에 원을 정무한각형이라고 해볼 때, 정n각형에서 n이 작아질 수록 넓이가 작아지는 것 같다. 이것이 실제로 그러한지, 정다각형이 아닐 때는 어떻게 되는지 알아 볼려고 한다.
정n각형
모든 정n각형은 외접원을 만들 수 있다. 그래서 그 외심으로 부터 각 꼭짓점으로 도형을 나눠서 $n$개의 삼각형으로 구해볼려고 한다. 이 삼각형은 이등변 삼각형이다. 그래서 반지름과 한 변의 길이의 관계를 할 수 있다. 그래서 반지름($R$)을 한 변의 길이로 표현할 수 있고, 이를 구해서 넓이를 $S=nsin(\frac{2\pi}{n})R^2$ 이렇게 표현할 수 있다. 한변의 길이와 반지름을 생각해 보았을 때, $cos$제 2 법칙을 써볼 수 있다. 한 변의 길이를 $l={L\over n}$($L$은 둘레)이라고 했을 때, $l^2=R^2+R^2-2R^2cos({2\pi\over n})\;\therefore R^2=2\frac{1-cos({2\pi\over n})}{l^2}=\frac{2n^2}{L^2}\frac{sin^2({2\pi\over n})}{1+cos({2\pi\over n})}$
$\therefore S= \frac{2n^3}{L^2}\frac{sin^3({2\pi\over n})}{1+cos({2\pi\over n})}$라는 것을 알 수 있다.
$L$을 상수라고 두고 $n$을 $x$로 생각해서 함수를 그리면
위와 같이 그려진다. 따라서 이 함수는 $x$가 3 이상이라면 증가하는 함수이다.(더 엄밀하게는 미분을 해봐도 될 것이다.) 따라서 정n각형에서 n이 증가할 수록 넓이는 커진다는 것을 알 수 있다.
일반 도형
세변의 길이가 각각 $9,12,15$인 직각삼각형과 모든 변의 길이가 $12$인 정삼각형을 생각해보자. 각 삼각형의 넓이를 구해보면 $54,63\sqrt{3}$이 나온다. 정삼각형이 더 크다. 여기서 한 가지 가설을 세워보자. n각형에서 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 도형은 정n각형이다라는 가설을 세워보자.
삼각형에 대해서 한 번 해보자. 세 변의 길이가 각각 $a,b,c$이고, $s=\frac{a+b+c}{2}$라는 것을 정의하게 되면 헤론의 공식을 이용해서 넓이를 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$로 표현할 수 있다. 둘레가 일정한 것은 $s$가 일정한 것이기 때문에 산술-기하 평균을 이용하면 간단하게 $a=b=c$여야 넓이가 최대가 된다는 것을 알 수 있다.(s가 상수라는 점을 이용하면 쉽게 풀린다.)
이제 삼각형에서 한 변의 길이를 고정한다. 또 나머지 두 변의 길이의 합이 일정하다고 해보자. 이렇게 되면 둘레가 일정하다. 이때 넓이가 최소일 조건은 그 나머지 두 변의 길이가 같아야 한다. (이 또한 위와 비슷한 논리로 해결할 수 있다.) 이제 n각형에서 대해서 이웃한 3점을 삼각형으로 만들 수 있다. 이제 두 변을 각각 두 변의 평균으로 설정한다. 이렇게 하면 그 부분에 대해서만 넓이를 최대로 만들 수 있다. 이를 모든 변의 길이가 다 같아질 때까지 반복 한다고 생각하면 둘레의 길이는 같지만, 넓이는 최대인 도형이 만들어진다. 여기서 이 행위를 반복한다고 해서 모든 변의 길이가 같아질 수 있는지에 대한 의문이 들 수 있다. 기하학 역설-2라는 제목의 글에서 평균을 계속 반복하면서 같게 만들 수 있다는 것을 확인하였다.
이로써 삼각형에 대한 증명과 평균을 반복하면 다 같아질 수 있다는 것을 증명해서 n각형에서 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 도형은 정n각형임을 확인하였다. 여기서 원래 증명할려던 둘레가 일정할 때, 원의 넓이가 최대가 되는 도형임을 증명할 수 있다.
참고
https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula
