서론
지난 글에 이어서 내접원이 존재할 때에 대해 다른 증명도 해보고, 내접원이 존재하지 않을 때 어떻게 될 지에 대해 얘기해보겠다.
내접원이 존재할 때
내접원이 존재하는 다각형을 살펴보자. 그럼 변과 원의 접점,원의 중심,꼭짓점 사이의 각을 그림과 같이 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$으로 표현 할 수 있다. 그럼 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\pi$임을 알 수 있다. 이렇게 변수를 설정했을 때, 넓이와 둘레를 표현하면
$S=r^2\{tan(a_1)+tan(a_2)+tan(a_3)+tan(a_4)+tan(a_5)+tan(a_6)\}$
$L=2r\{ tan(a_1)+tan(a_2)+tan(a_3)+tan(a_4)+tan(a_5)+tan(a_6)\}$
로 표현할 수 있다.이 때 각도를 표현하는 변수는 고정되어 있는 상수로 볼 수 있다. 따라서 $\frac{dS}{dr}=L$이라는 것을 알 수 있다. 그림은 육각형에 대해서 표현 되어 있지만, 증명 과정에서 각도의 변수를 늘리기만 하면 되므로 모든 내접원이 존재하는 다각형에 대해서 아름다운 관계를 만족시키는 변수가 존재한다는 것을 알 수 있다.
내접원이 존재하지 않을 때
내접원이 존재하지 않는다고 하더라도 $S=\frac{1}{2}rl$관계를 만족하는 변수$r$이 존재한다. 그냥 단순히 $r=\frac{2S}{l}$라고 하면 된다. 이를 형식상의 반지름이라고 하겠다.
위 사진과 같이 내접원이 존재하지 않는 도형에서도 형식상의 내접원을 그릴 수 있다. 그리고 이를 변수로 잡으면 똑같이 그 관계를 만들 수 있다. 사각형에서 네 변의 길이를 각각 $a,b,c,d$라고 하고, 사각형 내부의 점에서 각 변까지의 거리를 $l_1, l_2,l_3,l_4$라고 한다면 $S=\frac{1}{2}(ar+br+cr+dr)=\frac{1}{2}(al_1+bl_2+cl_3+dl_4)$의 관계가 성립한다고 쓸 수 있다. 이를 통해서 형식상의 저항은 $r=\frac{al_1+bl_2+cl_3+dl_4}{a+b+c+d}$으로 가중 평균으로 쉽게 구할 수 있다는 것도 알 수 있다. 최종적으로 그 관계를 만족시키는 변수는 다각형 내부에서 각 변까지의 기를 각변의 길이에 대한 가중 평균이라는 것이다.
결론
결국 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대인 도형은 원임을 확인하였고, 아름다운 관계가 성립하기 위해서는 도형의 형태보다는 미분하는 변수가 더 중요하다는 것을 알 수 있다. 그 변수는 내접원의 반지름으로 설정이 되는데, 내접원이 존재하지 않더라도 형식상의 내접원의 반지름으로 설정된다.
