이차 형식의 함수 그리기

 

 

문제

https://youtube.com/shorts/hVVVh7jgcjs?si=GGg0RB5PpQISSRi9

 

 

이 영상을 고등학생 때 처음 봤다. 처음 봤을 때, 계산들이 너무 빠르게 지나가고 해서 하나도 이해를 못했다. 어떻게 행렬로 바꿀 생각을 했는지, 왜 저기서 고유값이 의미있게 쓰이는 것인지 아무것도 몰랐다. 대학생이 된 지금은 조금이나마 알 것 같다.

풀이

$ax^2+2bxy+cy^2=\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\b&c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=1$ 

이러한 꼴의 이차 형식은 헤세 행렬을 이용해서 표현할 수 있다.

 

그래서 문제의 방정식도 행렬을 이용해서 표현해보자.

$x^2-xy+y^2=\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=1 $

 

 

이제 기저를 바꿀 것이다. 기존에 $e_1,e_2$를 대신 헤세 행렬의 고유벡터를 이용해서 표현해 줄 것이다. 이렇게 해주는 이유는 고유벡터를 이용하면 행렬을 대각화할 수 있고, 그렇게 되면, 방정식의 $xy$항을 없앨 수 있다. 그러면 함수 개형을 파악하는 게 훨씬 수월해진다. 

 

이제 이 행렬의 고유값과 고유 벡터를 구해보면 아래와 같이  나온다.

$(1-\lambda)^2=\frac{1}{4}$    $\therefore \lambda = {1\over2}\;or\;{3\over2}$

$v_1=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \;,\; v_2=\begin{bmatrix} \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} $

 

이를 이용해서 기저자체를 바꿀 수 있다. 이 고유 벡터들로 기저를 표현하는 것인데, $(x,y)$는 변환이 된 후 다시 그 벡터를 $(x,y)$라고 생각할 수 있다.

 

그래서 표현을 

$\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} &0\\0&\frac{3}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2=1$로 표현할 수 있다.

이는 고유벡터를 기저로 했을 때, 타원이 생긴다는 것을 의미한다.

 

결국 이를 그래프로 표현해보면, 아래와 같다.

 

 

고유 벡터가 ${\pi\over 4}$만큼 돌아간 것이기 때문에, 타원도 그 만큼 회전한 것을 알 수 있다.