서론
"부피와 겉넓이는 어떤 관계가 있을까?" 구의 경우 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$이고, 겉넓이는 $4\pi r^2$이다. 그래서 이것을 외울 때, 항상 부피를 $r$에 대해 미분하면 겉넓이가 나온다는 점을 이용했다. 여기서 구가 이런 관계에 있는 명백한 이유가 있을 것이다고 생각했다. 첫번째로 든 의심은 "부피가 일정할 때, 겉넓이가 최대이기 위해서 구여야하는 건 아닐까?"이다.
부피가 일정할 때, 겉넓이의 값
사실 여기에는 굉장히 유명한 반례가 있다.
가브리엘의 뿔이라고 하는 도형(?)있다. 이는 부피는 유한하지만, 겉넓이는 무한할 수 있다. 일단 이걸 도형이라고 부를 수 있지도 의문이다. 그래서 일단 적어도 문제를 바꿔야한다. 우리가 일반적으로 관찰할 수 있고, 직관적인 도형을 생각해야한다.
유한한 도형
도형 경계와 내부에 있는 임의의 두 점을 선택하여 거리를 쟀을 때, 상한이 존재해야 한다는 조건을 이용하여 우리가 다루고 싶은 도형을 설명해 볼 수는 있을 거 같다. 그러나 여전히 가브리엘의 뿔과 비슷한 구조를 이용하면, 어떤 부피가 일정할 때, 겉넓이를 더 크게 만들 수 있음을 보일 수 있다. 한 마디로 최댓값이 없다는 것이다.
$f(x)={k\over x}$라는 함수를 생각했을 때,부피와 겉넓이를 각각 $V=\int_a^b\{f(x)\}^2\pi\;dx\;,\;A=\int_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\;dx+\{f(a)\}^2\pi+\{f(b)\}^2\pi\;\;(0<a<1<b)$로 표현할 수 있다.
$V=2\pi k^2[{1\over a}-{1\over b}]\;,\;2\pi k ln b<2\pi k[ln b-ln a]\leq A\;(\because a<1)$와 같이 표현할 수 있다. $V$가 일정하게 존재할 때, $k$를 일정하게 한 뒤, $b$를 키우게 되면 이전 수식에서 파악한 겉넓이 하한(미적분에서 정의하는 하한을 의미하는 것은 아니다.)이 커질 수 밖에 없고, 원하는 곳까지 킬 수 있다. 그 와중에 $a$를 $V$가 일정하도록 잘 맞추어 준다면 $V$를 일정하게 유지 하면서 겉넓이를 키울 수 있다. (여기서 $b$를 계속 증가시켰을 때, $a$가 여전히 $1$보다 작고 $0$보다 큰 범위에 존재할 수 있는 지 확인해야 한다. 처음 $a,b$를 각각 $a',b'$이라고 했을 때, $b$를 무한까지 보내게 되면 $V$를 일정하게 하는 $a$값을 $a_0$라고 한다면 ${1\over a_0}={\frac{1}{a'}-\frac{1}{b'}}>1$를 만족해야 한다. $\therefore \frac{a'}{1-a'}<b'$라서 $V$를 원하는 값에 일정하도록 만들기 위해서는 다른 조건이 더 필요해 보이지만, $a'$을 먼저 선택한 뒤, 방금 구한 조건에 맞는 $b'$을 구하고 $k$를 그게 맞게 수정하면 된다. $b$를 증가시킬 때 $k$는 건들지 않기 때문에 초기에 마음대로 설정해도 된다. $k$가 아무리 작아도 상수 이기 때문에 $b$가 무한으로 가면 발산할 수밖에 없다. 그래서 $a_0$가 존재한다는 것을 의미한다.)
그래서 결국 다시 또 문제를 바꿔야 한다. 이번에는 겉넓이를 일정하게 만들어 보자. 어떤 걸 고정하던 비슷하다고 생각될 수는 있지만, 둘이 완전히 다르다. 예를 들어 $V, A$를 각각 부피와 겉넓이라고 할 때, $(V+\pi)^2\leq A$라는 관계가 항상 성립한다고 하면 $A$가 일정하면 적어도 $V$가 유한이라는 것을 알 수 있지만, $V$가 일정할 때는 $A$가 어떻게 될 지 모른다. 그래서 경계조건을 생각했을 떄, 부피를 일정하게 하고 싶다면 겉넓이의 최소가 되는 상황을 구해야 한다. 앞으로는 겉넓이를 일정하게 하고, 부피의 최대를 구하도록 하겠다.($V=\int_a^b\{f(x)\}^2\pi\;dx\leq \int_a^b Mf(x)\pi\;dx\leq\frac{M}{2}\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\;dx\leq\frac{M}{2}A$따라서 $f(x)$가 최대값 $M$을 가질 때, $V\leq\frac{M}{2}A$가 성립한다. 실제로 이런 부등식이 존재한다.)
또 차원을 낮추는 것도 굉장히 큰 도움이 될 것이다. 그래서 구가 아닌 원에 대해 생각을 먼저 해보는 것이 좋을 거 같다.(원도 넓이를 $r$에 대해 미분 했을 때, 둘레가 나온다.)
둘레가 일정할 때, 넓이
반지름이 $1$인 단위원을 생각해보자. 그럼 둘레는 $2\pi$가 되고, 넓이는 $\pi$가 된다. 둘레가 $2\pi$인 정사각형의 넓이는 ${\pi^2\over 4}$가 되고, 정삼각형의 넓이는 ${\sqrt{3}\pi^2\over36}$가 된다. 예시로 보아 원일 떄가 뭔가 최대가 될 거 같다.(정n각형에서 n이 커질 수록 넓이가 \pi와 가까워 지는 거 같다.)
굉장히 작은 각도 $d\theta$(상수라고 보는 것이 적절하다.)에 대해 넓이와 둘레를 각각 $\frac{1}{2}r^2d\theta\;,\;\sqrt{r^2+r'^2}d\theta$로 표현할 수 있다.
굉장히 작은 각도에 대한 넓이와 둘레를 구한 뒤 이를 다 더하면 전체의 넓이와 둘레를 계산할 수 있다.
둘레가 일정하다고 했으니 $r^2+r'^2=c^2$과 같은 식으로 표현 될 수 있고, 이는 다시 $\frac{1}{2}r^2=\frac{1}{2}(c^2-r'^2)$로 표현된다. 좌변이 최대이기 위해서는 $r'=0$이여야 한다는 것이 자명하므로 이는 결국 반지름이 바뀌지 않는 원이 되어야 한다는 것을 의미한다. 그래서 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 도형은 결국 원이라는 것을 알 수 있다.(부피가 일정할 때, 겉넓이가 최소라는 조건을 이용해도 같은 논리로 원이라는 게 유도된다.)
사실 비눗방울이 왜 구인지에 관해 내용을 찾아보면 겉넓이가 일정할 때, 부피가 최대이면 에너지가 가장 적게 든다는 내용이 있다.
