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수학/긴 내용

부피와 겉넓이-1

 

서론

 

"부피와 겉넓이는 어떤 관계가 있을까?" 구의 경우 부피는 43πr3이고, 겉넓이는 4πr2이다. 그래서 이것을 외울 때, 항상 부피를 r에 대해 미분하면 겉넓이가 나온다는 점을 이용했다. 여기서 구가 이런 관계에 있는 명백한 이유가 있을 것이다고 생각했다. 첫번째로 든 의심은 "부피가 일정할 때, 겉넓이가 최대이기 위해서 구여야하는 건 아닐까?"이다. 

 

부피가 일정할 때, 겉넓이의 값

사실 여기에는 굉장히 유명한 반례가 있다.

Wiki Pedia

가브리엘의 뿔이라고 하는 도형(?)있다. 이는 부피는 유한하지만, 겉넓이는 무한할 수 있다. 일단 이걸 도형이라고 부를 수 있지도 의문이다. 그래서 일단 적어도 문제를 바꿔야한다. 우리가 일반적으로 관찰할 수 있고, 직관적인 도형을 생각해야한다. 

유한한 도형

도형 경계와 내부에 있는 임의의 두 점을 선택하여 거리를 쟀을 때, 상한이 존재해야 한다는 조건을 이용하여 우리가 다루고 싶은 도형을 설명해 볼 수는 있을 거 같다. 그러나 여전히 가브리엘의 뿔과 비슷한 구조를 이용하면, 어떤 부피가 일정할 때, 겉넓이를 더 크게 만들 수 있음을 보일 수 있다. 한 마디로 최댓값이 없다는 것이다.  

 

f(x)=kx라는 함수를 생각했을 때,부피와 겉넓이를 각각 V=ab{f(x)}2πdx,A=ab2πf(x)1+{f(x)}2dx+{f(a)}2π+{f(b)}2π(0<a<1<b)로 표현할 수 있다.

대충 이런 모양이 되겠다.(Desmos)

 

V=2πk2[1a1b],2πklnb<2πk[lnblna]A(a<1)와 같이 표현할 수 있다. V가 일정하게 존재할 때, k를 일정하게 한 뒤, b를 키우게 되면 이전 수식에서 파악한 겉넓이 하한(미적분에서 정의하는 하한을 의미하는 것은 아니다.)이 커질 수 밖에 없고, 원하는 곳까지 킬 수 있다. 그 와중에 aV가 일정하도록 잘 맞추어 준다면 V를 일정하게 유지 하면서 겉넓이를 키울 수 있다. (여기서 b를 계속 증가시켰을 때, a가 여전히 1보다 작고 0보다 큰 범위에 존재할 수 있는 지 확인해야 한다. 처음 a,b를 각각 a,b이라고 했을 때, b를 무한까지 보내게 되면 V를 일정하게 하는 a값을 a0라고 한다면 1a0=1a1b>1를 만족해야 한다. a1a<b라서 V를 원하는 값에 일정하도록 만들기 위해서는 다른 조건이 더 필요해 보이지만, a을 먼저 선택한 뒤, 방금 구한 조건에 맞는 b을 구하고 k를 그게 맞게 수정하면 된다. b를 증가시킬 때 k는 건들지 않기 때문에 초기에 마음대로 설정해도 된다. k가 아무리 작아도 상수 이기 때문에 b가 무한으로 가면 발산할 수밖에 없다. 그래서 a0가 존재한다는 것을 의미한다.)

 

그래서 결국 다시 또 문제를 바꿔야 한다. 이번에는 겉넓이를 일정하게 만들어 보자. 어떤 걸 고정하던 비슷하다고 생각될 수는 있지만, 둘이 완전히 다르다. 예를 들어 V,A를 각각 부피와 겉넓이라고 할 때, (V+π)2A라는 관계가 항상 성립한다고 하면 A가 일정하면 적어도 V가 유한이라는 것을 알 수 있지만, V가 일정할 때는 A가 어떻게 될 지 모른다. 그래서 경계조건을 생각했을 떄, 부피를 일정하게 하고 싶다면 겉넓이의 최소가 되는 상황을 구해야 한다. 앞으로는 겉넓이를 일정하게 하고, 부피의 최대를 구하도록 하겠다.(V=ab{f(x)}2πdxabMf(x)πdxM2ab2πf(x)1+{f(x)}2dxM2A따라서 f(x)가 최대값 M을 가질 때, VM2A가 성립한다. 실제로 이런 부등식이 존재한다.)

 

또 차원을 낮추는 것도 굉장히 큰 도움이 될 것이다. 그래서 구가 아닌 원에 대해 생각을 먼저 해보는 것이 좋을 거 같다.(원도 넓이를 r에 대해 미분 했을 때, 둘레가 나온다.)

 

둘레가 일정할 때, 넓이

반지름이 1인 단위원을 생각해보자. 그럼 둘레는 2π가 되고, 넓이는 π가 된다. 둘레가 2π인 정사각형의 넓이는 π24가 되고, 정삼각형의 넓이는 3π236가 된다. 예시로 보아 원일 떄가 뭔가 최대가 될 거 같다.(정n각형에서 n이 커질 수록 넓이가 \pi와 가까워 지는 거 같다.)

 

굉장히 작은 각도 dθ(상수라고 보는 것이 적절하다.)에 대해 넓이와 둘레를 각각 12r2dθ,r2+r2dθ로 표현할 수 있다.

굉장히 작은 각도에 대한 넓이와 둘레를 구한 뒤 이를 다 더하면 전체의 넓이와 둘레를 계산할 수 있다.

둘레가 일정하다고 했으니 r2+r2=c2과 같은 식으로 표현 될 수 있고, 이는 다시 12r2=12(c2r2)로 표현된다. 좌변이 최대이기 위해서는 r=0이여야 한다는 것이 자명하므로 이는 결국 반지름이 바뀌지 않는 원이 되어야 한다는 것을 의미한다. 그래서 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 도형은 결국 원이라는 것을 알 수 있다.(부피가 일정할 때, 겉넓이가 최소라는 조건을 이용해도 같은 논리로 원이라는 게 유도된다.)

 

사실 비눗방울이 왜 구인지에 관해 내용을 찾아보면 겉넓이가 일정할 때, 부피가 최대이면 에너지가 가장 적게 든다는 내용이 있다. 

참고

https://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_horn

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