행렬 곱의 교환법칙

학교에서 매주 문제를 풀라고 수학문제를 내주는데,우연히 잘못된 풀이로 풀었더니 정답여서 신기한 사실을 발겼했다.

문제

두 이차정사각행렬$A,B$가
$A+B=I$, $A^2-B^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$를 만족할 때,

행렬 $A$의 $(1,2)$성분을 구하여라 

풀이

굉장히 간단한 문제이다. 정석적인 풀이는 $B=I-A$이므로 대입하면 $2A-I=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$이 되어서 그냥 A를 구하면 된다.

여기서 잘못된 풀이는 $A+B=I$이기 때문에 합차의 곱셈공식을 이용하여 $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$라고 하는 것이다. 마치 처음 행렬을 배울 때는 뭔가 맞는 듯한 느낌이 드는데, $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ 식이 바로 성립할려면 $AB=BA$가 성립해야하기 때문에 올바른 풀이가 아니다. 그런데 정답은 맞다. 이 방식으로 해도 $A$와 $B$를 정확하게 구할 수 있다.
그 이유는 $A+B=I$ 이면 $AB=BA$가 성립하기 때문이다. 당연하게도 역행렬이라는 반례가 있기 때문에 역은 성립하지 않는다. 더 일반적으로 살펴보면

$(A+B=J$라고 할 때, $AB=BA\iff AJ=JA)$라는 명제가 참이다. 그래서 번외로 $J$에 $A^{-1}$들어가도 교환법칙이 성립한다. 증명은 식을 변형해서 대입하면 간단하게 확인할 수 있다. 

학교에서 일반적으로 행렬 곱의 교환법칙은 성립하지 않는다고 배운다. 그래서 그런지 언제 특수하게 교환법칙이 성립하는지 언급이 없다. 이 글에서 일반화한 명제가지고는 정말 교환법칙의 성립 조건을 알았다고 하긴 좀 그렇다. 왜냐하면 어떤 행렬의 교환법칙의 성립유무를 알기 위해서는 이미 성립하는 다른 걸 알고 있어야 한다. 그래서 나중에 기회가 되면 좀 더 일반화를 해보고 싶다.