수학/긴 내용 (16) 썸네일형 리스트형 Hailstone-3.5 \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} ax+b , & \text{if } x{\equiv}1(mod 2)\\ \frac{x}{2}, & \text{if } x{\equiv}0(mod2)\end{array} \right\}\end{equation} $f_1(x)=f(x)$ ,$f_m(x)=f_{m-1}(f(x))$ 진리 함수 $p(x): f_m(x)=1$이 되게 하는 자연수 m이 존재한다.(1도 자기 자신으로 돌아와야 한다는 것을 의미한다.) 진리 집합 $P$ : $p(x)$가 참이 되도록 하게 하는 x의 모임 집합 $a=3,\;b=41$일 때, $P=\{x|gcd(41,x)=1\}$임을 증명하시오. 이런 조건을 만족하는 $1000$이하의 수들은 $\{1.. Hail stone-3.1 Definition 1 \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+b , & \text{if } x{\equiv}1(mod 2)\\ \frac{x}{2}, & \text{if } x{\equiv}0(mod2)\end{array} \right\}\end{equation} $b$는 양의 홀수이다. Definition 2 $U=\{1,2,3,...,b-1,b\}$ Definition 3 $H=\{n|{\exists}h{\in}N\;,n{\equiv}2^h (mod\;b)\}$ Definition 4 $f_1(x)=f(x)$ ,$f_m(x)=f_{m-1}(f(x))$ Definition 4.1 진리 함수 $p(x): f_m(x)=1$이 되게 하는 자연수 $m$이.. Hailstone-3 Definition 1 \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+b , & \text{if } x{\equiv}1(mod 2)\\ \frac{x}{2}, & \text{if } x{\equiv}0(mod2)\end{array} \right\}\end{equation} $b$는 양의 홀수이다. Definition 2 $U=\{1,2,3,...,b-1,b\}$ Definition 3 $H=\{n|{\exists}h{\in}N\;,n{\equiv}2^h (mod\;b)\}$ Definition 4 $f_1(x)=f(x)$ ,$f_m(x)=f_{m-1}(f(x))$ Definition 4.1 진리 함수 $p(x): f_m(x)=1$이 되게 하는 자연수 $m$이.. Hailstone-2.9 \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+1 , & \text{if } x{\equiv}1\;(mod\;2)\\ \frac{x}{2}, & \text{if } x{\equiv}0\;(mod\;2)\end{array} \right\}\end{equation} 명제 $p$ : 모든 자연수에 대해 함수를 $m$번 반복해서 $1$에 도달하게 할 수 있다. 증명을 해보자. $sol.1$ 모든 자연수가 자기 자신보다 작아질 수 있다는 것을 증명하자. 2가 자기 자신보다 작아지면 1이 되면서 부합하고, 3이 자기 자신보다 작아지면 2를 경유하여 1에 도달하게 된다. $x>{\frac{x+1}{2}}\;{\Leftrightarrow}\;x>1$ $x>{\frac{x}.. Hailstone-2 x가 짝수일 때, y=x/2 x가 홀수 일 때, y=ax+b 이때, a,b는 서로소여야 하고, ax+b는 짝수여야 한다. 1)a=1인 상황은 살펴보자 b가 1이 아닐 때, b,k의 최소공배수가 1이 아닌 k들은 1에 도달하지 못함이 자명하다. x+3,x+5의 초반 경우를 봐보면 그렇게 되는 것처럼 보인다. 그러나 x+7을 봐보면 7의 배수는 당연히 안되는 것이 맞지만, 3,5,13,17,19 또한 1에 도달하지 않음을 알 수 있다. 좀 더 해본 결과 b가 {7,15,17,21,23,31,33,35,39,41,43,45,47,49,51,55,57,63,65,69,71} 일 때는 특이한 경로가 생긴다. https://oeis.org/ 여기에 검색해보면, "Odd numbers for which 2 is no.. Hailstone-1 콜라츠 추측과 같이 홀수와 짝수로 구분된 수열 문제는 일반항을 어떻게 세울까 고민이 되기 때문에 접근하기가 쉽지 않다. $a_n=-[{\frac{1}{n-1}}]\;or\;|[{\frac{1}{n}}]-1|$ $a_n=[{\frac{1}{n}}]$ $a_n=cos{\pi}n\;or\;(-1)^n+1$ $a_n={\frac{(1-con{\pi}n)}{2}}$ 이과 같은 수열 등을 이용하면 콜라츠 추측 문제를 모든 실수에 대한 식으로 작성 가능하다. 그럼에도 합성함수를 다루어야 하는데, 이 부분이 오히려 더 난해하다. 또한 가우스 기호가 포함되어 있어서 미분도 안되고 아주 난해하다. 다른 방식이 필요해 보인다. 기하학 역설-2 2023.10.05 - [수학] - 기하학 역설-1 기하학 역설-1다음과 같이 수학에는 기하학의 역설이라는 내용이 있다. 기하학의 역설에서는 삼각형 한변의 수직이등분선과 그 대각의 이등분선의 교점에 대한 논리를 이용하는 경우가 많다. 그 경우에는 수earthscience2.tistory.com 이렇게 모든 변에 대하여 적용이 가능하다. 이렇게 보면 내심과 외심까지도 관찰이 가능하다. 그럼 그 교점들은 연결하여 만든 삼각형은 원래의 삼각형과 어떤 관련이 있을까? 이를 더 여러번 반복하면 뭔가 정삼각형이 되어가는 듯이 보인다. 임의의 수열 $0 문제의 식만 보면, https://ghebook.blogspot.com/2010/07/intermediate-value-theorem.html 증명 과정에 있.. 기하학 역설-1 다음과 같이 수학에는 기하학의 역설이라는 내용이 있다. 기하학의 역설에서는 삼각형 한변의 수직이등분선과 그 대각의 이등분선의 교점에 대한 논리를 이용하는 경우가 많다. 그 경우에는 수직이등분선과 각이등분선의 교점이 삼각형 내부에서 만나는 것처럼 그림을 그려서 역설을 발생시킨다. 하지만 실제로는 항상 "삼각형에서 한 변의 수직이등분선과 대각의 각이등분선의 교점은 두 선이 일치하지 않으면 항상 삼각형 외부에서 만난다." 이는 삼각형의 각의 이등분선 정리를 참고하면 지극히 자명하다. https://mathbang.net/173 삼각형의 각의 이등분선과 닮음 닮은 도형을 계속 공부하고 있는데요. 이번에는 조금 응용된 과정이에요. 삼각형의 내각과 외각의 이등분선을 이용해서 변의 길이를 구하는 내용이지요. 이번 내.. 이전 1 2 다음
