Hail stone-3.1

Definition 1 \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+b , & \text{if } x{\equiv}1(mod 2)\\ \frac{x}{2}, & \text{if } x{\equiv}0(mod2)\end{array} \right\}\end{equation}

$b$는 양의 홀수이다.

Definition 2 $U=\{1,2,3,...,b-1,b\}$ Definition 3 $H=\{n|{\exists}h{\in}N\;,n{\equiv}2^h (mod\;b)\}$

Definition 4 $f_1(x)=f(x)$ ,$f_m(x)=f_{m-1}(f(x))$

Definition 4.1 진리 함수 $p(x): f_m(x)=1$이 되게 하는 자연수 $m$이 존재한다.(1도 1에 도달할 수 있어야 한다는 것을 의미한다.)

 

Theorem 1 $p(x)=p(x+b)$

$proof$ : $x$가 홀수일 때는 같은 경로를 가는 것이 자명하다. $x$가 짝수라고 하면, $f_m(x)$가 홀수가 되는 $m$이 존재한다는 것이 자명하다. $x=2k\;({\text{k은 홀수}})$라고 할 때, $x,x+b$는 각각 $k,k+b$ 가 되는 경로가 존재한다. 이미 모든 홀수$k$에 대해 성립함을 보였으니 해당 명제는 성립하게 된다.

 

다음 증명과정에서 잘못된 부분을 찾으시오.

 

 

해당 논리는 $p(x)=p(f(x))$를 기본 구조로 하고 있다 그러나 $x=2$일 때, $p(2)=p(1)$를 단정할 수 없다. $p(1)$ 진릿값은 $ 1$이후에 과정들과 연관이 있지, $p(2)$와는 연관성이 없다. 위 상황에서는 $k=1$일 때의 상황을 면밀히 보지 못하였다.