Hailstone-2

x가 짝수일 때, y=x/2 x가 홀수 일 때, y=ax+b 이때, a,b는 서로소여야 하고, ax+b는 짝수여야 한다.

 

1)a=1인 상황은 살펴보자

b가 1이 아닐 때, b,k의 최소공배수가 1이 아닌 k들은 1에 도달하지 못함이 자명하다.

x+3,x+5의 초반 경우를 봐보면 그렇게 되는 것처럼 보인다.

그러나 x+7을 봐보면 7의 배수는 당연히 안되는 것이 맞지만,

3,5,13,17,19 또한 1에 도달하지 않음을 알 수 있다.

좀 더 해본 결과 b가 {7,15,17,21,23,31,33,35,39,41,43,45,47,49,51,55,57,63,65,69,71} 일 때는 특이한 경로가 생긴다. https://oeis.org/ 여기에 검색해보면, "Odd numbers for which 2 is not a primitive root" 라는 규칙이 있다고 하고, 내가 찾은 그 이후의 경우도 해보면 어느 정도 맞는 것처럼 보인다! 여기가 아주 중요한 점이 될 거 같다.

또한 각 b에 대해 1에 도달하지 않는 x를 조사해보면 x를 b로 나눈 나머지가

7:0 3 5 6

15:0 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14

17:0 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14

21:0 3 5 6 7 9 10 12 13 14 15 17 19 20

23:0 5 7 10 11 14 15 17 19 20 21 22

31:0 3 5 6 7 9 10 .......... (이 때는 초반에 정말 많은 수들이 되지 않는다.)

로 계속 반복되는 것으로 보인다.

7일 때 나머지들의 규칙은 7에 대한 이차 비잉여,

17일 때는 17에 대한 이차 비잉여인 수들과 일부 겹치는 것으로 보인다.

그러나 합성수인 15에서는 일어나지 않고, 다른 소수에서도 일어나지 않는 것처럼 보인다.

여기서 중요하게 보이는 점은 반복된다는 것이다. x가 1로 가지 못하면 x+b도 1로 가지 못하는 것 같다. 이를 증명하면 1<=x<=b에 있는 수 들만 조사하여 순환이 생기지 않음을 알 수 있을 것이다.

 

 

그럼 a가 1이 아닌 상황을 봐보자

3x+5는

3,5,7,11,13,15,17,19,21,23,27,29 등 일 때, 1에 도달하지 못한다. b를 더 다양하게 해본 결과 1이 되지 않는 b배수가 아닌 것들이 항상 존재하는 것 같다. 정말 특이하게 여기에는 1에 도달 못하는 수들이 더 많은 거 같다. 일단 a=1일 때와 달리 반복이 없는 것으로 보인다.

정말 엄청난 난해함이 있다. 대체적으로 b가 7,13,17,41,43,61,77,97,107 일 때는 1에 도달하는 수들이 많고, 특히 41,43,77,107에는 b의 배수만 불가능하는 걸로 보인다.

 

a가 1이 아닐 때, 어떤 규칙이 생기는 지 매우 혼란 스럽다.

 

5x+1일 때는 b=1임에도 불구하고,

5, 13,17일 때, 순환하여서 1에 수렴하지 않는다.

7,9,11 일 때는 발산하는 것처럼 보인다.

 

7x+1일 때,

3,7,11,13,15은 발산하는 것처럼 보인다.

 

a가 5이상이면 발산하는 경우가 존재하는 것처럼 보인다.

 

이쯤되어서 1에 수렴하지 않는 경우가 순환,발산 이 두 가지 뿐임을 증명해야 할 거 같다.

a에서 시작하는 수열이 최댓값을 가진다고 해보자. 만약 가지지 않으면 발산이다. 최댓값을 가진다면 최댓값 이하의 수들만 거쳐야 하는데, 유한 하기 때문에, 2번이상 선택되는 수가 존재할 수 밖에 없는데, 이는 순환이 될 수 밖에 없다. 비둘기 집의 원리다.