Hailstone-3

Definition 1

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x+b,& \text{if }x\equiv 1(mod2)\\ \frac{x}{2},& \text{if }x\equiv 0(mod2)\end{array}\right\}$$  

$b$는 양의 홀수이다.

Definition 2

$U=\{1,2,3,...,b-1,b\}$

Definition 3

$H=\{n|\mathrm{\exists }h\in N,n\equiv 2^h(modb)\}$

Definition 4

$f_1(x)=f(x)$ ,$f_m(x)=f_{m-1}(f(x))$

Definition 4.1

진리 함수 $p(x):f_m(x)=1$이 되게 하는 자연수 $m$이 존재한다.(1도 1에 도달할 수 있어야 한다는 것을 의미한다.)

Definition 4.2

진리 집합 $P$ : $p(x)$가 참이 되도록 하게 하는 x의 모임

 

Theorem 1

$x\in H\iff f(x)\in H$

 

Theorem 2

$P=H$

 

Theorem 3

$p(x)=p(x+b)$

 

Theorem4

$or{d}_b(2)=\varphi (b)\iff \mathrm{\forall }k\in P,gcd(k,b)\ne 1$

 

여기서 증명은 크게 중요하지 않다. 우리는 $a=3$일 때가 궁금하다. 더 큰 문제가 남아있다.