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수학/짧은 내용

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모든 길이는 한 선분이다. 이런 상황을 상상해보자. 한 사람은 $L$의 위치에서 , 다른 사람은 $M$의 위치에서 원점을 향하는 방향으로 바라보고 있다. 그럼 각각 길이를 $2l$과 $2lcos{\theta}$로 인식할 것이다. 이 둘은 서로 다른 길이로 관측할 것이다. 그러나 사실은 같은 선분을 보고 있는 것이다. 그러니 각 선분위에 있는 점들이 대응되는 것은 자명하다. 자기 자신과 대응되는 함수는 항상 만들 수 있다. 사실 수학적으로는 정사영과 관련해서 설명하면 된다. 서로 다른 길이에 있는 점들의 개수가 서로 같다는 것을 직관적으로 설명하기 위해 이런 설명을 생각했다.
선형성의 다른 정의 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $additivity$ $f(ax)=af(x)$ $homogeneity$ $f(ax+by)=af(x)+bf(y)$과 위에 식은 동치일까? 어디 영상에서 이렇게 표현하길래, 궁금했다. $a=b,\;x=y$라고 한다면 $f(2ax)=2af(x)$이니 동차성은 성립하고, $a=b=1$이라고 한다면 $f(x+y)=f(x)+f(y)$이니 가산성도 성립한다. 그래서 우리는 선형성을 $f(ax+by)=af(x)+bf(y)$로 정의해도 문제가 생기진 않는다.
허수 i의 정의 허수의정의는$\sqrt{-1}=i$ 일까? $\sqrt{a}\;(a>0)$은 잘 정의가 된다. 허수를 정의하기 위해서는 $a
추상대수학 구조도 기본적인 대수 구조에 대한 구조도입니다. 추상대수학 블로그:https://chocobear.tistory.com/100
1은 왜 소수라고 할 수 없는가 기본적으로 $2,3,5,7,11, ....$은 소수(소수는 수학에서 사용하는 그 정의를 따른다.)라고 할 때, 이에 추가적으로 1을 소수라고 가정해 보자. 두 소수의 곱으로 표현된 수는 합성수이다. 따라서 $1*3=3$은 합성수라고 할 수 있다. 이런 식으로 하면 1은 곱셈 연산에 있어서 항등원이기 때문에 그 어떤 수도 소수라고 할 수 없게 된다. 따라서 소수의 성질을 이용하고, 수학적 이론을 기술하기 위해서는 1을 소수라고 해서는 안 된다. 1을 소수로 만들고 싶다면 현재 소수의 정의를 갈아엎어야 한다. 그렇다면 1을 소수라고 하는 게 의미가 있을까? 정의를 갈아엎으면 새로운 정의를 만든 것이나 다름없다. ( 소수의 정의는 그대로 유지하고, 새로운 '요소수'라는 수를 정의하여 1을 포함시키는 게 1을 ..
Irregularity 수학에서는 규칙성을 찾기 위해 노력하고, 또한 그 규칙성이 항상 성립한다는 것을 증명한다.(때론 특정 상황을 정의함으로써 새로운 분야를 창조하하기도 한다.) 그럼 수학에 비규칙성이라는 게 존재할까? 모든 수학적 대상은 규칙성을 가지고 있다고 말할 수 있는가? 소수가 규칙이 아직 밣혀지지 않았다고 할 수 있을까? 그에 앞서 '규칙성'을 가진다는 것을 수학적으로 어떻게 표현할 지를 고민해야 한다. 일단 약하게 숫자를 대상으로 정의를 해보면 수열로 나타낼 수 있는지를 기준으로 규칙성을 판단할 수 있다. 왜냐하면 수열의 정의를 정의역을 자연수로 하는 함수이지만 다른 말로는 규칙성을 지닌 수들의 나열이기 때문이다. 이 함수의 존재성과 규칙성을 동일 시 시킬 수 있다. 해당 수열을 점화식이나 일반항으로 표현할 수 ..