Irregularity

     수학에서는 규칙성을 찾기 위해 노력하고, 또한 그 규칙성이 항상 성립한다는 것을 증명한다.(때론 특정 상황을 정의함으로써 새로운 분야를 창조하하기도 한다.) 그럼 수학에 비규칙성이라는 게 존재할까? 모든 수학적 대상은 규칙성을 가지고 있다고 말할 수 있는가? 소수가 규칙이 아직 밣혀지지 않았다고 할 수 있을까? 그에 앞서 '규칙성'을 가진다는 것을 수학적으로 어떻게 표현할 지를 고민해야 한다.

     일단 약하게 숫자를 대상으로 정의를 해보면 수열로 나타낼 수 있는지를 기준으로 규칙성을 판단할 수 있다. 왜냐하면 수열의 정의를 정의역을 자연수로 하는 함수이지만 다른 말로는 규칙성을 지닌 수들의 나열이기 때문이다. 이 함수의 존재성과 규칙성을 동일 시 시킬 수 있다. 해당 수열을 점화식이나 일반항으로 표현할 수 있다면 규칙성이 있다고 할 수 있을 것이다. 예를 들어 $\pi$의 소수$n$번째자리의 수들을 생각해 보자 주기성은 없지만 $\pi$를 구하는 식들이 있으니 각 자리수가 몇인지 일반항으로 나타낼 수도 있을 것 같다. 물론 가우스 기호나 요상한 기호를 써야할 지라도 가능할 것이다. 그럼 적어도 주기성은 없을 지라도 규칙성을 있다고 할 수 있을 것이다. 많은 "사람들이 여태까지 소수의 규칙을 찾지 못했다."라고 생각하고 있는 거 같다.(내 친구이다.) 그런 측면에서 월런스의 공식이 우리에게 보여주는 바는 소수의 규칙이라고 할 수 있을까?

     이것보단 조금 큰 범위에서는 등식이나 모듈러 연산을 이용한 표현으로 설명할 수 있을 것이다. 예를 들어 윌슨의 정리는 규칙성을 가지고 있다고 말할 수 있을 것이다. 정수해이긴 하지만, 어쨋든 그 해가 방정식의 측면에서 "규칙"적으로 나올 수 있다.

     더 큰 범위에서 규칙성에 대해 이야기를 해보면 집합론의 관점에서 어떤 기준을 만족시키는 서로 다른 대상들을 모으기 위해서 사용하는 그 기준의 존재여부를 이용하는 것이다. 여기서 만약 유한 집합이라면 규칙성을 판단하는 것이 큰 의미가 없다. 왜냐하면 1, 30 ,34 이 수들을 A라는 기준이라고 세우면 이 또한 어쨋든 기준을 만족하기 때문이다. 그래서 무한 집합에 경우에 대해서만 논의를 해야한다. 이 경우에 대해서는 확실히 완전수와 같은 게 규칙성이 있다고 할 수 있겠다. 이런 관점에서 보면 모든 수학적 대상들은 규칙성이 있다고 할 수 있다. 왜냐하면 그 대상들이 적어도 '정의'가 되어 있으면 항상 집합으로 표현할 수 있기 때문이다.

     이 논의는 일부 난수생성과 관련이 있다고 생각한다. 난수가 규칙성이 있다면 (의사난수) 무작위라고 할 수 없기 때문에 난수가 아닐 것이다. 수학적으로 난수라는 존재를 어떻게 고려할 지에 대한 여부이기도 하다. 과학의 관점으로 보면 난수를 만들 수 있다. 과학은 사실 무작위작인 혹은 확률에 의한 현상이 나타나기 때문에 정말 난수를 만들 수 있다. 양자 난수나 간단한 예로 붕괴할 때 무작위적인 방향으로 방출되는 전자기파를 이용할 수도 있다.