허수 i의 정의

     허수의정의는$\sqrt{-1}=i$ 일까? $\sqrt{a}\;(a>0)$은 잘 정의가 된다. 허수를 정의하기 위해서는  $a<0$ 때 어떻게 되는지 정의를 해놔야한다. $\sqrt{-a}i=\sqrt{a}\;(a<0)$ 간단하게 이런 방식을 생각해 볼 수는 있겠으나, 이렇게 할지라도 $i$를 이미 이용했기 때문에 정의하는 것이 안된다. 또한 음수일 때 잘 정의가 된다면, 기존 루트 기호를 쓰면 되지, $i$라는 기호를 쓰는 것이 불필요하게 될 수도 있다. 루트 안에 음수를 쓰는 표현을 허용하면 기존에 사용하던 연산과 혼동할 수 있다.​ 예를 들어$-1=\frac{1}{-1}$이니$\sqrt{-1}=\sqrt{\frac{1}{-1}}$원래 루트 연산에 대해 생각했을 때$i=\frac{1}{i}$라고 생각이 될 수  있다.

     그래서 그나마 허수의 정의를 $x^2=-1$을 만족하는 하나의 근이라고 정의하는 것이 적절하다. 이제 근이 두개인데 둘중에  어떤 걸 말하는거냐는 의문이 생길 수 있다. 사실 상관없다. 어느 하나를 i로 정의하면 다른 하나를−i로 설정하면 아무런 문제도 생기지 않는다.​  상관없다라는 답변이 비논리적이고, 무책임해 보일 수도 있다. 그러면 i와−i의차이점이 무엇인가라고 한다면,​ $−1$을 곱한 차이뿐이다. 둘은 바꾸더라도 아무런 문제가 생기지 않는다. 하지만 해당 정의만으로는 $i$가 $+$의 연산 대상이 되었을 때, 어떻게 되는지 등 곱셈 외 연산에 대해 말하기가 어렵다. 그래서 아래처럼 채를 이용하여 정의를 해야한다.

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[복소해석학] 1. 복소수의 정의 및 기본 성질