1은 왜 소수라고 할 수 없는가

기본적으로 $2,3,5,7,11, ....$은 소수(소수는 수학에서 사용하는 그 정의를 따른다.)라고 할 때, 이에 추가적으로 1을 소수라고 가정해 보자. 두 소수의 곱으로 표현된 수는 합성수이다. 따라서 $1*3=3$은 합성수라고 할 수 있다. 이런 식으로 하면 1은 곱셈 연산에 있어서 항등원이기 때문에 그 어떤 수도 소수라고 할 수 없게 된다. 따라서 소수의 성질을 이용하고, 수학적 이론을 기술하기 위해서는 1을 소수라고 해서는 안 된다.
 
1을 소수로 만들고 싶다면 현재 소수의 정의를 갈아엎어야 한다. 그렇다면 1을 소수라고 하는 게 의미가 있을까? 정의를 갈아엎으면 새로운 정의를 만든 것이나 다름없다. ( 소수의 정의는 그대로 유지하고, 새로운 '요소수'라는 수를 정의하여 1을 포함시키는 게 1을 소수로 간주할 수 있는 방법은 아니다.)
많은 책들에서는 소인수분해의 유일성을 유지하기 위해 1을 소수로 간주하지 않는다고 서술한다. 그러면 기존의 소인수분해에서 소수로 간주하되 1은 예외 시키는 또는 이와 비슷한 조건(ex.1^1까지만 포함되어 있는 것으로 간주하는 조건)을 추가시키면 기존의 소인수분해 방식이나 정리들을 유지하면 1도 소수로 여길 수 있을 것같다고 생각했다. 그래서 나는 소인수분해의 유일성 때문이라고 하기에는 살짝 부족하다고 느껴서 다른 논리를 생각해 본 것이다.

 

사실 소수에 대한 정의를 살펴보면 이미 1보다 큰 자연수에 대해서만 이야기 하고 있기 때문에 "왜 1은 소수가 아닌가?"라는 질문에 단순히 정의에 포함되지 않는다고 하면 된다.