p진수-1

 

 

절댓값 공리

 

${\text{non-negativity}}$

$axiom 1: {\forall}a,  |a|{\geq}0$

${\text{positive-definiteness}}\;$

$axiom 2: |a|=0\;{\Leftrightarrow}\;a=0$

${\text{multiplicativity}}\;$

$axiom 3: {\forall}a,\;b\;\;|a{\cdot}b|=|a|{\cdot}|b|$

${\text{subadditiyity}}\;$

$axiom 4: {\forall}a,\;b\;\;|a+b|{\leq}|a|+|b|$

 

     이 공리들을 만족하면, 절댓값이라고 할 수 있고, $axiom 5: {\forall}a{\neq}0, \lim\limits_{n \to \infty}|na|=\infty$

이 공리를 만족하게 되면 아르키메데스 절대값이라고 부르고, 만족을 하지 않으면 비아르키메데스 절대값이라고 부른다. 전자의 경우에는 우리가 잘 아는 자연스러운 절대값($|a|_\infty$로 표현한다.)이 있고, 후자의 경우에는 자명한 절대값( $|a|_{triv}$) 또는 p진 절대값($|a|_p$)이 있다. 정의는 간단하니 생략하겠습니다. Horizon에 있는 글을 보시면 나와있습니다.

오스트롭스키의 정리

 

 

출처: https://horizon.kias.re.kr/14296/

오스트롭스키의 정리는 절대값에 어떤 종류가 있는지 보여주는 정리입니다. 증명이 필수적이라고 생각되진 않으나 증명이 그렇게 어렵진 않고, p진수 절대값이 왜 그렇게 정의되는지 알 수도 있습니다. 일단 해보겠습니다. 

여기서 이용하는 $|a|$는 모두 4개의 공리만을 만족하는 절대값입니다.

${\text{Lemma 1}}$

$|1|=|-1|=1$

${\text{Lemma 2}}$

$|-n|=|n|$

${\text{Lemma 3}}$

$|n^{-1}|=|n|^{-1}$

${\because}n^{-1}{\times}n=1$

 

$multiplicativity$ 와 $positive-definiteness$를

적절히 잘 이용하면 증명 가능해서 생략하겠습니다.

 

 

 

$case 1$

${\exists}n{\in}N,s.t |n|>1$

음이 아닌 정수 $k$와 1보다 큰 양의 정수 $b$를 이용하여 $n^k$을 b진법으로 표현할 수 있습니다.

$(c_i)_{0{\leq}i<m}$  $0{\leq}c_i<b$

$n^k=\sum_{i<m} c_ib^i$

여기서 $m$은  $c_i$의 값이 0이 아닌 $i$값 중에서 최댓값을 의미합니다.

합의 마지막 항이 $c_{m-1}b^{m-1}$이므로

$b^{m-1}{\leq}n^k$    ${\therefore}m{\leq}1+k{\log_b}n$

$|c_ib^i|{\leq}(b-1)|b|^i$이고, $|b|^i{\leq}max\{1,|b|^{m-1}\}$이기 때문에

 

$|n|^k\;{\leq}\;m{\cdot}max_{i<m}{\{c_ib^i\}}$

     ${\leq}m(b-1)max\{1,|b|^{m-1}\}$

     ${\leq}(1+k{\log_b}n)(b-1)$$max\{1,|b|^{k{\log_b}n}\}$

${\therefore}|n|\;{\leq}\;{\{(1+k{\log_b}n)(b-1)\}}^{\frac{1}{k}}max\{1,|b|^{{\log_b}n}\}$

여기서 극한을 이용하여 $k$를 $\infty$로 보내면

$|n||\;{\leq}\;max\{1,|b|^{\log_b}\}$

${\forall}n,b{\geq}2,\;\;|n||\;{\leq}\;|b|^{\log_b}$

${\therefore}\;{\log_n}|n|\;{\leq}\;{\log_b}|b|$

 

${\forall}n{\geq}2,\;{\log_n}|n|={\log_2}2={\lambda}$

$|n|=n^{\lambda}={|n|^{\lambda}}_{\infty}$

삼각 부등식은 $|n|{\leq}n$를 내포하고 있기 때문에

${|n|^{\lambda}}_{\infty}{\leq}n$ 이므로     $0<{\lambda}{\leq}1$

 

$case 2$

${\forall}n{\in}Z,\;|n|{\leq}1$

만약에 모든 자연수 $n$에 대해서 $|n|=1$이라고 하면 자명한 절대값이 되기 때문에, 

${\exists}n,\;|n|<1$을 가정하고 시작하겠습니다.

$n$을 소인수분해 하면

$n={\prod_{p{\in}P}}p^{v_p(n)}$가 된다.

$v_p(n)$은 해당 소수의 지수부를 의미한다.

이렇기 때문에 ${\exists}p,\;|p|<1$가 성립해야만 합니다.

 

여기서 귀류법을 이용하여 $p$의 유일성을 증명하겠다.

같은 조건을 만족하는 $p$가 아닌 소수 $q$가 있을 때,

배주 항등식에 의해 $ap^k+bq^k=1$을 만족하는 $a,\;b$가 존재하기 때문에

$1=|1|{\leq}|a||p|^k+|b||q|^k<{|a|+|b| \over 2}{\leq}1$이기 때문에 모순이 발생한다. 따라서 유일성이 증명된다.

${\lambda}=-{log_p}|p|$

$0<{\lambda}<{\infty}$  ${\because}|p|<1$

우리는 $p^{-{\lambda}}=|p|$라는 것을 알 수 있다.

어떤 유리수를 소수의 음의 정수 지수까지 포함해서 소인수분해 비슷하게 할 수 있고, $p$가 아닌 다른 소수는 무조건 그 절대값이 1이 되기 때문에 유리수에 대해 절대값이 어떻게 되는지 알 수 있습니다.

위키백과에 있는 증명을 옮겼는데, 솔직히 좀 의아한 부분도 있긴 하다. "Ultrametric calculus : An introduction to p-adic analysis"라는 책에 있는 내용이 더 정확해 보인다.

 

 

참고

https://horizon.kias.re.kr/13825/

https://horizon.kias.re.kr/14296/

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value