Hailstone-3

Definition 1

\begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x+b , & \text{if } x{\equiv}1(mod 2)\\ \frac{x}{2}, & \text{if } x{\equiv}0(mod2)\end{array} \right\}\end{equation}  

$b$는 양의 홀수이다.

Definition 2

$U=\{1,2,3,...,b-1,b\}$

Definition 3

$H=\{n|{\exists}h{\in}N\;,n{\equiv}2^h (mod\;b)\}$

Definition 4

$f_1(x)=f(x)$ ,$f_m(x)=f_{m-1}(f(x))$

Definition 4.1

진리 함수 $p(x): f_m(x)=1$이 되게 하는 자연수 $m$이 존재한다.(1도 1에 도달할 수 있어야 한다는 것을 의미한다.)

Definition 4.2

진리 집합 $P$ : $p(x)$가 참이 되도록 하게 하는 x의 모임

 

Theorem 1

$x{\in}H{\Leftrightarrow}f(x){\in}H$

 

Theorem 2

$P=H$

 

Theorem 3

$p(x)=p(x+b)$

 

Theorem4

$ord_b(2)={\phi}(b) {\Leftrightarrow} {\forall}k{\in}P, gcd(k,b){\neq}1$

 

여기서 증명은 크게 중요하지 않다. 우리는 $a=3$일 때가 궁금하다. 더 큰 문제가 남아있다.