부피와 겉넓이-2

서론 

여태까지 원이 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 도형임을 확인했다. 그런데 그 내용과 넓이를 미분하면 둘레가 나오는 다는 내용과 과연 무슨 관련이 있을지는 아직 모른다. 그래서 이번 글에서는 그것에 대해 알아보고자 한다.

 

미분을 동등하게 대하기

원의 넓이는 일변수함수이지만, 사각형의 넓이는 일변수함수가 아니다. 그래서 "넓이를 미분하면 둘레가 나온다는 말"을 좀 일반화할 필요가 있다. 일단 가장 먼저 생각이 드는 일반화는 편미분이다. 미분을 다변수로 확장했을 때, 그냥 당연히 편미분이 생각이 났다. 아니면 그냥 특정 길이를 고정해두고, 변수를 하나로 만들어도 된다. 전자로 하는 것이 가장 일반적이여서 좋을 거 같지만, 문제는 편미분을 이용하면 $\frac{\partial S}{\partial x_1}=\frac{\partial S}{\partial x_2}=L$가 성립하다는 걸로 가야할 거같다. 2변수함수에서 각 변수로 편미분 했을 때, 그 두 함수가 같을 거 같지가 않다. 그래서 후자처럼 도형을 어느정도는 고정해서 변수를 하나로 만들려고 한다.

 

넓이와 둘레에 관한 미분

원의 둘레를 $l$이라고 했을 때, 넓이와 둘레를 각각 $S=\frac{l^2}{4\pi },L=l$ 넓이를 둘레로 미분했을 때, 둘레가 나오진 않는다. 그렇다는 건 넓이를 미분했을 때, 둘레가 나오는 관계가 단순히 도형에 의존하는 것은 아니다. 도형에 의존하긴 하겠지만, 어떤 변수로 미분하는 지에 관한 것도 꽤 중요해 보인다. 원에서는 반지름이 중요한 것이다.

 

algeomath

 

위와 같이 정사각형이 있을 때, 중심(중심이라는 말이 싫다면 내심이라고 해도 된다.)과 한변 사이의 거리를 $x$라고 했을 때, $S=4x^2,L=8x$이다. $y$를 변수로 잡았을 때는 이렇게 되지 않는다. 정사각형에서도 변수를 적절하게 잡으면, 넓이를 미분했을 때, 둘레가 나오게 할 수 있다. 그래서 일단단 원만 아름다운 관계를 가지고 있는 것은 아니다. 여기서 도형 그 자체보다는 변수가 중요함을 알 수 있다.

정n각형

정n각형에 대해서 해봐야 할 거 같다. 이 전과 똑같이 중심에서 한 변까지 이르는 거리를 $x$라고 했을 때, $S=n{x}^{2}tan(\frac{\pi }{n})L=n2xtan(\frac{\pi }{n})\therefore \frac{dS}{dx}=L$이 항상 성립한다는 것을 간단하게 확인할 수 있다.( 일반적인 다각형에서는 그런 변수를 항상 찾는 것이 쉽지는 않는 거 같다.) $n$을 무한으로 보내면 원일때, 넓이와 둘레가 나오고, 결국 $x$가 $r$의 역할을 하게 된다. 결국 그 관계는 원이기 때문에 생긴다기 보다는 반지름과 비슷한 역할을 하는 변수가 필요했던 것이다.

아름다운 관계가 존재하는 것과 원이 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대인 도형과는 관련이 크게 없다고 보는 것이 맞다.

중심에서 한 변까지 이르는 거리를 $x$라고 했는데, 사실 이는 내접원의 반지름이다. 다각형의 내접원이 존재한다고 했을 때, 내접원의 반지름을 $r$, 다각형의 둘레를 $l$, 다각형의 넓이를 $S$, $l$과 $r$의 비례상수를 $k$라고 한다면($l=kr$), 최종적으로 넓이를 $S=\frac{1}{2}rl=\frac{1}{2}k{r}^2$로 쓸 수 있다. $\frac{dS}{dr}=kr=l$로 그 관계가 성립한다는 것을 쉽게 알 수 있다.

 

모든 변으로 거리가 같은 점이 존재하기 위해서는 다각형의 내접원이 존재해야 할 것처럼 보인다. 그래서 내접원이 존재하지 않는 다각형은 미분-관계를 만들 수 없을 것처럼 보이긴 하지만 이에 대해서는 다음글에서 다루겠다.