절댓값 구해 보기
$p=3$일 때, 여러 절댓값들이 어떻게 계산되는지 확인해 보자.
$|3|_3={1 \over 3}$
$|6|_3=|3{\times}2|_3={1 \over 3}$
$|9|_3=|3^2|_3={1 \over 9}$
$ |354294|_3=|2{\times}3^{11}|_3={1\over 3^{11}}$
$|2|_3=1$
$|5|_3=5$
$|{1\over3}|_3=3$
$|{1\over5}|_3=1$
이처럼 정말 직관적으로 다가오지 않는 수들이 계산된다.
초거리 부등식
$|a+b|_p\;{\leq}\;max\{|a|_p,|b|_p\}$ 라는 초거리 부등식이 있다. 등호는 $|a|_p{\neq}|b|_p$이면 성립한다.
$a=\pm p^mr\;,\;a=\pm p^ns$라고 할 때, $m,n$은 정수이고, $r,s$는 각각 분모와 분수가 p로 나누어지지 않는 분수이다. 그럼 각 절대값은 $|a|_p=p^{-m}\;,\;|b|_p=p^{-n}$이다. 여기서 $m\leq n$이라고 해도 일반성을 잃지 않는다. 이렇게 되면 $max\{|a|_p,|b|_p\}=p^{-m}$ 그럼 $|a+b|_p\leq p^{-m}$만 증명하면 된다.
$r=\frac{i}{j}\;,\;s=\frac{k}{l}$이라고 했을 때, $a+b=\pm p^mr\pm p^ns=\pm p^m(r\pm p^{n-m}s)$ $=\pm p^m(\frac{i}{j}\pm \frac{kp^{n-m}}{l})=\pm p^m(\frac{il\pm kjp^{n-m}}{jl})$ 가 된다. 복잡해 보이지만 크게 중요하지 않다.
$j\;,\;l$ 둘 다 $p$로 나누어지지 않기 때문에, 분모는 $p$로 나누어 떨어지지 않는다. 여기서 분자는 정수이기 때문에$p^ab$로 설정할 수 있다. 여기서 $a$는 음이 아닌 정수이고, $b$는 p로 나누어 떨어지지 않는 정수이다. 그럼 최종적으로 $a+b=p^{m+a}\frac{b}{jl}$이기 때문에 $|a+b|_p=p^{-(m+a)}$이고 $m+a\geq m$이기 때문에 $|a+b|_p=p^{-(m+a)}\leq p^{-m}=max\{|a|_p,|b|_p\}$로써 강력한 삼각 부등식이 성립한다.
이 부등식을 이용해서 $|a+b|_p,\;\;|a|_p,\;\;|b|_p$ 중 적어도 2개가 같다는 것을 알 수 있다.
합동과의 관련성
이 p진 절대값은 합동과 관련이 있다.
두 정수 $a,\;b$에 대해 $|a-b|{\leq}p^{-n}\;{\Leftrightarrow}\; a{\equiv}b\;\;mod\;p^n$ 가 성립한다.
${\Rightarrow}$
두 정수 $a,\;b$가 $a-b=p^m{f\over g}$일 때, $a-b$가 정수이므로 $g=1$일 수 밖에 없습니다. 따라서 $a-b=p^mf$이기 때문에 $a\equiv b\;\;mod\;p^m$이 성립한다.
$\Leftarrow$
합동식을 만족한다는 것은 $a-b=p^mf$로 표현될 수 있다는 것이고, 이에 따라 $|a-b|{\leq}p^{-n}$가 성립한다.
P진수
p진수는 ${\alpha}= {\sum_{n=-N}^{\infty}}a_np^n$ 과 같이 p진법의 형태로 표현해야한다.
여기서 절대값은 $|\alpha|_p:=p^{-n_0}$(여기서 $n_0$는 $a_n{\neq}0$을 만족하는 가장 작은 $n$이다.) 으로 표현될 수 있다. 이는 전에 알고 있던 절대값과 다르지 않다.
$A={\frac{3}{2}}$를 5진수로 한 번 표현해보자. $2A-3=0$이므로 $|2A-3|_5=0$ 또한 성립한다. 따라서 바로 전에 언급한 합동을 이용할 수 있다. 임의의 $n$에 대해서 $|2A_n-3|_5{\leq}5^{-n}$을 만족하는 $A_n$을 $2A_n{\equiv}3\;(\;mod\;5^n)$을 이용하여 찾을 뒤, $n$을 무한으로 보내는 극한을 이용하면 $A$를 찾을 수 있다.
모든 자연수 $n$에 대해서 $2A_n{\equiv}3\;(mod\;5^{n})$을 만족하는 합동방정식의 해를 구해서
$A= {\sum_{n=0}^{\infty}}A_{n+1}5^n$으로 표현할 수 있고, 이를 직접 구해보면 $A=4+{\sum_{n=1}^{\infty}}2\cdot5^n$ 임을 알 수 있다.
$|2A_n-3|_5{\leq}5^{-n}$이 되고, $n$을 무한으로 보내보면 $|2A-3|_5=0$이 됨으로 $A={3\over 2}$라는 것을 알 수 있다.
여기서 한 번 A를 무한 등비급수의 공식을 이용하여 계산해보자. 그럼 $4+{10 \over 1-5}\;=\;4-{10 \over 4}\;=\;{3\over2}$ 가 된다. 당연히 공식을 적용하면 안되는 것이 맞다. 그러나 성립한다!
P진수의 수렴성
여기서 신기한 점은 $A$는 기존의 실수체계에서 발산하는 무한 급수이지만, p진수로 고려했을 때는 수렴한다는 것이다. 여기에서 초거리 부등식을 이용하여 중요한 따름 정리를 유도할 수 있다.
유리수 수열$a_n$이 $p$진 절대값에 대해 $0$으로 수렴한다는 것과 ${\sum_{n=0}^{\infty}}a_n$ 어떤 $p$진수로 수렴한다는 것은 동치이다.
참고
https://math.stackexchange.com/questions/205886/how-to-prove-the-strong-triangle-inequality
https://horizon.kias.re.kr/14296/
