5차 방정식 암호화

     5차 방정식의 대수적인 일반해는 없다. 이 점을 이용하여 암호화를 할 수 있지 않을까? 

이용하는 수의 범위를 복소수로 하고, 비밀 키 $x=\alpha$를 설정한다. 그 뒤 원문을 '$a+b+c+d$' ($d$는 0이 아닌 수)라고 했을 때, 이런 $x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 4차 방정식을 준비한다. 여기에 $(x-\alpha )$를 곱해서 $x^5+a_1{x}^4+a_2{x}^3+a_3{x}^2+a_{4}x+a_5=0$을 구성하도록 5차 방정식을 만들어서  

여기에 있는 $a_1$부터 $a_5$는 암호화된 문장이다. 여기서 복호화 하기 위해서는 비밀키를 이용해서 인수분해를 한 뒤 사차 방정식의 계수를 이용하면 원문을 구할 수 있다. 또는 어차피 계수의 합이니 5차 방정식에 1을 대입한 값을 $1-\alpha$로 나누고 거기에 1을 빼면 복호화를 할 수 있다.(만약에 1을 빼는 게 싫으면 원문에서 이용하는 계수의 개수를 늘리면 된다. 그럼 $1-\alpha$로 나누는 부분을 좀 바꿔야 된긴 한다.)

    이런 방식의 장점은 5차 방정식의 해가 1개가 아니면, 비밀키를 모르는 상태에서 인수분해를 했다고 하더라도 비록 몇 가지 안되긴 하지만 원문 단정할 수 없다. 또한 원문과 비밀키가 고유하더라도 암호문이 여러 개 만들어 질 수 있다. 이런 식으로 하게 되면 보안이 더 좋아질 거 같다. 비밀키를 유리수 범위에서 이용하는 것도 좋지만, 무리수나 복소수를 이용하는 것도 나쁘진 않아보인다.

     만약에 5차 방정식을 잘 못 설정하면 문제가 생길 수 있다. 일부 변형된 방정식인 대수적인 일반해를 가지고 있다. 혹은 비밀키를 자연수나 유리수 범위로 한정하게 되면, 브링 근호를 이용해서 5차 방정식의 근을 근사적으로 찾아서 쉽게 뚤릴 수도 있을 것이다. 또한 복소수를 이용하거나 고차를 이용했을 때, 컴퓨터에서 인수분해나 방정식을 만드는 게 효율적으로 작동할 지는 모르겠다.