Convolution과 평행이동

 

 

서론

convolution은 위의 사진과같이 정의되는 연산이다. 이를 보면 두 함수는 무조건 t를 공통으로 하여야 한다. $f(t)*g(t-1)$와 같은 convolution에 대해서 알아보고자 한다. 이를 해석하는 방법은 그냥 $h(t)=g(t-1)$로 새로 정의해서 $(f*h)(t)$를 계산하면 간단하게 된다. 따라서 일반적인 함수에 대해서는 특별한 의미를 갖지 않는다. 그러나 Dirac delta function에 대해서는 조금 색다른 의미를 가질 수 있고, 이에 대해 알아보고자 한다. 

 

 

Delta Function

Delta function이 convolution에서 특이한 이유는 $f(t)*\delta (t)=f(t)$이기 때문이다. $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta (t-a) dt=f(a)$이기 때문에 $f(t)*\delta (t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta (t-\tau) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta (\tau-t) d\tau= f(t)$로 쉽게 증명할 수 있다.

 

$f(t)*\delta (t-a)$의 값은 과연 어떻게 될까? $g(t)=\delta (t-a)$라고 하면

$f(t)*\delta (t-a)=f(t)*g(t)= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau$

$= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta (t-\tau-a) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta (\tau-(t-a)) d\tau$

$=f(t-a)$로 매우 직관적인 결과가 나오는 것을 알 수 있다.

$f(t-a)*\delta (t)$의 결과 또한 $f(t-a)$가 나온다.

 

$h(t)=f(t-a)*\delta (t-a)$라고 하면 $h(t+a)=f(t)*\delta (t)=f(t)$이니 $h(t)=f(t-a)$의 결과로 이상하게 나온다.

convolution에서 이런 논리는 통하지 않는다. convolution에서 적분 구간이 무한이기 때문이다.

 

 

참고 자료

https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution