베르트랑의 역설-쉬운 문제

 

 

더 이해하기 쉬운 유사 문제

원래 문제는 이게 아니지만 이게 더 이해하기 쉬워서 만들었습니다.

일단 문제는 한변의 길이가 $\sqrt{3}$인 정사각형$ABCD$가 있을 때, 선분$\overline{AB}$ 또는 선분$\overline{BC}$ 위에 있는 임의의 점을 선택했을 때, 그 점이 선분$\overline{BE}$또는 선분$\overline{BF}$위에 있을 확률을 구하시오. 이것이 문제이다. 

1.길이를 이용한 풀이

그 확률은 기하관점에서 확률은$\frac{\overline{BE}+\overline{BF}}{\overline{AB}+\overline{BC}}$(여기서 $\overline{AB}$는 선분$\overline{AB}$의 길이를 의미하는 표현입니다.)이 될 것입니다. 이를 계산하면 $\frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}}=0.711\dots$가 됩니다.

2.각도를 이용한 풀이

$D$를 원점으로 생각하고, 기울기가 $tan\theta \text{(}0<\theta <\frac{\pi }{2})$인 원점을 지나는 직선을 생각해보자 이렇게 하면 모든 $\theta$와 처음에 설정한 선분위에 점을 다 대응시킬 수 있습니다. 따라서 확률은 각도의 비율로 생각할 수 있으니 $\frac{\frac{\pi }{6}}{3\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{3}=0.3333\dots$가 됩니다.

 

여기가 이 역설의 핵심입니다. 같은 문제상황이지만 구하는 방법에 따라 확률이 다르게 나옵니다. 위키백과에 왜 그런지, 물리학에서는 어떻게 판단하는지에 대한 설명이 아주 풍부하게 잘 나와있습니다. 저길 참고하는 게 더 좋을 거 같네요.

 

여담으로 친구가 원래 배르트랑의 역설의 풀이 중 각도를 이용하는 풀이에서는 현이 중복되는 것이 가능하다라고 해서 확률을 어떻게 정확하게 구할 지 고민이 들어서 점이나 현의 개수가 비가산이니 가산에 대응시켜서 할 수가 없어서 구분구적법의 아이디어를 이용하여 확률을 구하는 풀이를 간단하게 올리겠습니다.

확률.pdf

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