사다리꼴 넓이의 기하 평균

임의의 사다리꼴에서 회색의 넓이(0.39)와 주황색의 넓이(1.69)의 기하 평균은 초록색과 빨간색의 넓이(약 0.81)와 같다. 이와 같은 명제로 등비수열을 이룬다는 것 또한 알 수 있다.

이와 관련된 증명의 핵심은 AB와 CD가 평행하니 닮음이 존재한다는 점일 것이다. 단순 넓이 공식을 써가면서도 할 수는 있겟지만, 닮음을 이용하는 것이 효율적으로 보인다. 그림과 같은 사다리꼴에서 B를 임의적으로 배치할 수 있도록 한 뒤 해당 넓이들이 등비수열을 이룬다는 조건을 추가하면, 교점에서 각도에 대한 sin값이 모두 같다는 점을 이용하여 평행하다는 것을 도출해낼 수 있다. 모든 증명이 비교적 간단합니다.

 

이와 더불어 사다리꼴에서는 더욱 많은 평균의 관계가 있는 것으로 보입니다.

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사다리꼴에서 찾아보는 산술평균, 기하평균, 조화평균