부피와 겉넓이-2.5

수학/긴 내용

부피와 겉넓이-2.5

지2러 2024. 8. 26. 02:47

서론

지난 글에 이어서 내접원이 존재할 때에 대해 다른 증명도 해보고, 내접원이 존재하지 않을 때 어떻게 될 지에 대해 얘기해보겠다.

내접원이 존재할 때

내접원이 존재하는 다각형을 살펴보자. 그럼 변과 원의 접점,원의 중심,꼭짓점 사이의 각을 그림과 같이 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 으로 표현 할 수 있다. 그럼 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = π$ 임을 알 수 있다. 이렇게 변수를 설정했을 때, 넓이와 둘레를 표현하면

$S = r^{2} {t a n (a_{1}) + t a n (a_{2}) + t a n (a_{3}) + t a n (a_{4}) + t a n (a_{5}) + t a n (a_{6})}$

$L = 2 r {t a n (a_{1}) + t a n (a_{2}) + t a n (a_{3}) + t a n (a_{4}) + t a n (a_{5}) + t a n (a_{6})}$

로 표현할 수 있다.이 때 각도를 표현하는 변수는 고정되어 있는 상수로 볼 수 있다. 따라서 $\frac{d S}{d r} = L$ 이라는 것을 알 수 있다. 그림은 육각형에 대해서 표현 되어 있지만, 증명 과정에서 각도의 변수를 늘리기만 하면 되므로 모든 내접원이 존재하는 다각형에 대해서 아름다운 관계를 만족시키는 변수가 존재한다는 것을 알 수 있다.

내접원이 존재하지 않을 때

내접원이 존재하지 않는다고 하더라도 $S = \frac{1}{2} r l$ 관계를 만족하는 변수 $r$ 이 존재한다. 그냥 단순히 $r = \frac{2 S}{l}$ 라고 하면 된다. 이를 형식상의 반지름이라고 하겠다.

위 사진과 같이 내접원이 존재하지 않는 도형에서도 형식상의 내접원을 그릴 수 있다. 그리고 이를 변수로 잡으면 똑같이 그 관계를 만들 수 있다. 사각형에서 네 변의 길이를 각각 $a, b, c, d$ 라고 하고, 사각형 내부의 점에서 각 변까지의 거리를 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ 라고 한다면 $S = \frac{1}{2} (a r + b r + c r + d r) = \frac{1}{2} (a l_{1} + b l_{2} + c l_{3} + d l_{4})$ 의 관계가 성립한다고 쓸 수 있다. 이를 통해서 형식상의 저항은 $r = \frac{a l_{1} + b l_{2} + c l_{3} + d l_{4}}{a + b + c + d}$ 으로 가중 평균으로 쉽게 구할 수 있다는 것도 알 수 있다. 최종적으로 그 관계를 만족시키는 변수는 다각형 내부에서 각 변까지의 기를 각변의 길이에 대한 가중 평균이라는 것이다.

결론

결국 둘레가 일정할 때, 넓이가 최대인 도형은 원임을 확인하였고, 아름다운 관계가 성립하기 위해서는 도형의 형태보다는 미분하는 변수가 더 중요하다는 것을 알 수 있다. 그 변수는 내접원의 반지름으로 설정이 되는데, 내접원이 존재하지 않더라도 형식상의 내접원의 반지름으로 설정된다.